Mereología

1. Introducción  

Discusiones filosóficas sobre la noción de parte han acompañado la filosofía a lo largo de toda su historia (para una visión de conjunto véase Cotnoir y Varzi 2021, sección 1.1).  No obstante, lo que en la filosofía analítica contemporánea se suele llamar ‘mereología’ (del griego ‘meros’, o sea, ‘parte’) ve la luz de manera más explícita solo con el trabajo del lógico polaco Stanisław Leśniewski (1916, 1927-31) y en el mundo anglófono (donde la obra de Leśniewski fue durante  mucho tiempo inaccesible por falta de traducciones) con el artículo ‘The Calculus of Individuals’ (1940) de  Henry Leonard y Nelson Goodman.

En la filosofía analítica contemporánea entendemos con ‘mereología’ la teoría formal de la noción de parte, en el sentido de que ésta se ocupa de la relación de parte independientemente de la naturaleza específica de los objetos involucrados (véase Cotnoir y Varzi 2021, sección 1.2.1). La mereología juega un papel central en muchos debates filosóficos contemporáneos, como por ejemplo el debate acerca de la naturaleza de los objetos materiales y la manera en que éstos persisten y cambian en el tiempo.

La teoría mereológica que está en el centro de la discusión contemporánea sobre la noción de parte es sin duda la ‘mereología clásica’ (la que se origina en el trabajo de Leśniewski, 1916, 1927-31 y Leonard y Goodman, 1940). De hecho, a pesar de su elegancia, la mereología clásica contiene principios muy controvertidos que muchos filósofos rechazan, sosteniendo así que la verdadera teoría formal de la noción de parte tiene que ser una mereología ‘no-clásica’.

En esta entrada vamos primero a presentar los principios más importantes de la mereología clásica—empezando por la ‘mereología básica’ y siguiendo con las mereologías más fuertes, la ‘mereología mínima’ y la ‘mereología extensional’ (sección 2). En segundo lugar (sección 3), vamos a considerar algunas de las familias más importantes de mereologías no-clásicas. En la parte final (sección 4) se indican otros temas importantes en mereología y algunas referencias esenciales sobre ellos.

2. Hacia la mereología clásica

El desarrollo de una mereología involucra tres etapas principales:

(i) la selección de una noción mereológica como noción primitiva (es decir, como noción que no está definida a través de otras nociones);

(ii) la definición de las otras nociones mereológicas a través de la noción tomada como primitiva;

(iii) la elección de una lista de axiomas.

Las nociones principales y más importantes de la mereología son las de ‘parte’, ‘parte propia’, ‘solapamiento’, ‘disyunción’, y ‘fusión mereológica’ (de la que hablaremos en la sección 2.3). Para entender el significado de estas nociones y empezar a razonar sobre sus propiedades formales podemos centrarnos en el caso paradigmático de los objetos concretos que ocupan una cierta región de espacio (véase Lando 2017, sección 1.4).  En este caso parece natural considerar como parte (‘propia’) de un objeto X cada objeto Y que ocupe una región de espacio (i) contenida en la región de espacio ocupada por X y (ii) que sea más pequeña que ésta. Por ejemplo, la Ilustración 1 representa cuatro objetos cuadrados que ocupan cuatro regiones (cuadradas) distintas del espacio. En este caso, es intuitivo pensar que el cuadrado B es una parte propia del cuadrado A, y que el cuadrado E es una parte propia tanto del cuadrado C como del cuadrado D. C y D son entidades que se solapan, es decir, entidades que tienen (por lo menos) una parte en común (en este caso, E). Nótese que, como todas las entidades son partes (‘impropias’) de sí mismas, también A y B se solapan, al tener como parte común B (que es una parte propia de A y una parte impropia de sí misma). A su vez, A y D, por ejemplo, son entidades disjuntas, es decir, entidades que no tienen ninguna parte en común.

Si tomamos la noción de parte propia como noción primitiva podemos definir las nociones de parte, solapamiento y disyunción como sigue:

Ilustración 1
  • x es parte de y si y solo si x es parte propia de y o es idéntica a y
  • x e y se solapan si y solo si hay una entidad z tal que z es parte de x y z es parte de y
  • x e y son entidades disyuntas si y solo si x e y no se solapan

2.1  Los axiomas de orden

La primera mereología que vamos a encontrar es la que podríamos llamar ‘mereología básica’ y que en la literatura se le llama ‘core mereology’  (Varzi 2019) y ‘ground mereology’  (Casati & Varzi 1999). La mereología básica se puede caracterizar a través de los siguientes principios:

  • Irreflexividad (PP): (toda entidad x es tal que) x no es parte propia de sí misma
  • Asimetría (PP): si x es parte propia de y, y no es parte propia de x
  • Transitividad (PP): si x es parte propia de y, y y es parte propia de z, entonces x es parte propia de z

Nótese que esta lista de axiomas es redundante, ya que el axioma de asimetría implica lógicamente el de irreflexividad, y está implicado lógicamente por los de irreflexividad y transitividad, tomados conjuntamente.

Irreflexividad, Asimetría y Transitividad parecen muy intuitivos. Por ejemplo, si seguimos centrándonos en objetos concretos situados en el espacio, es muy intuitivo pensar que nada puede ocupar una región de espacio contenida en la que ocupa y más pequeña que ésta (como requiere Irreflexividad). También parece muy plausible pensar que si un objeto M ocupa una región de espacio contenida en la región de espacio ocupada por un objeto N, y N ocupa una región de espacio contenida en la región de espacio ocupada por un objeto O, entonces la región de espacio ocupada por M está contenida en la región de espacio ocupada por O (como requiere Transitividad).

Es fácil demostrar cómo, de la definición de la noción de parte ofrecida más arriba, se sigue que la relación de parte es una relación reflexiva, anti-simétrica y transitiva:

  • Reflexividad (P): (toda entidad x es tal que) x es parte de sí misma
  • Anti-simetría (P): si x es parte de y, y y es parte de x, entonces x es idéntica a y
  • Transitividad (P): si x es parte de y, y y es parte de z, entonces x es parte de z

2.2  La ‘mereología mínima’

Muchas relaciones son irreflexivas, asimétricas y transitivas (por ejemplo: ‘ocurrir en un momento posterior a…’, ‘tener más dinero que…’, ‘ser más grande que…’ y otras). Los axiomas de orden son entonces insuficientes para individuar la relación de parte propia. Además, parece intuitivo pensar que una teoría de la noción de parte tendría que excluir la posibilidad de algunos escenarios que no parecen representar estructuras mereológicas posibles. Para comprender mejor este punto vamos a utilizar (como es usual en la literatura) unos diagramas en los cuales:

(i) cada punto representa una entidad diferente,

(ii) una entidad está representada como parte propia de otra entidad si y solo si hay una línea que conecta, desde abajo hacia arriba, el punto que representa la primera con el punto que representa la segunda,

(iii) se asume la transitividad sin representar sus efectos, por así decir; así que si el punto p está conectado con el punto q y el punto q está conectado con el punto r, el diagrama también representa implícitamente el hecho de que la entidad representada por el punto p es una parte propia de la entidad representada por el punto r.

Ilustración 2

Considérese por ejemplo la Ilustración 2. Ahí hay un solo punto que está conectado desde abajo hacia arriba con el punto y. Así, la Ilustración 2 representa una entidad y que posee una sola parte propia, la entidad x. Pero, ¿cómo es posible que y esté compuesta solo por x? Si x es solamente una parte propia de y, parece muy intuitivo pensar que y tiene que ‘contener más’que solo x. En otras palabras, cada parte propia de un objeto es tal que hay que ‘añadirle algo más’ para obtener el todo que la contiene.

La manera más sencilla de expresar esta intuición es a través del ‘principio de compañía débil’ (Weak Company), que requiere que nada pueda tener solamente una parte propia:

  • Compañía Débil: si x es una parte propia de y, entonces hay un entidad z diferente de x que es también una parte propia de y
Ilustración 3 e Ilustración 4

Sin embargo, Compañía Débil parece ser demasiado débil. Por ejemplo, este principio no excluye los escenarios representados en las Ilustraciones 3 y 4 que parecen tan problemáticos como el escenario representadoen la Ilustración 2. De hecho, en todos estos casos hay entidades (como x en las Ilustraciones 2 y 4, y x2 en la Ilustración 3) que son partes propias de un objeto sin que haya nada ‘extra’ a estas entidades que se les pueda ‘añadir’ para formar el todo que las contiene.

Estas y otras consideraciones parecidas sugieren que el principio que es necesario asumir en este caso es el ‘principio de suplementación débil’ (Weak Supplementation)

  • Suplementación Débil: si x es una parte propia de y, entonces hay una entidad z que es parte de y y que es disyunta de x (es decir: que no tiene ninguna parte en común con x)

Suplementación Débil es suficiente para excluir la posibilidad de estructuras mereológicas como las representadas por las Ilustraciones 2, 3 y 4.  Este principio también parece expresar de manera natural la intuición que tratábamos de capturar, es decir, la idea de que cada parte propia de un todo es tal que el todo en cuestión contiene ‘algo más’ aparte de ella. En otras palabras, si x es solo una parte propia de y,tiene que haber algo de y que no esté ni siquiera parcialmente contenido en x; algo mereológicamente distinto de x, y en este sentido, algo que no tenga ninguna parte en común con x.

Suplementación Débil es tan natural que algunos filósofos han llegado a pensar que su verdad se sigue del mismo concepto de parte (Simons 1987, Varzi 2008; para una discusión reciente sobre este tema, véase Cotnoir 2019).

La teoría que resulta de añadir Suplementación Débil a la mereología básica se suele llamar en la literatura ‘mereología mínima’ (minimal mereology) y puede ser axiomatizada a través de Suplementación Débil y Transitividad (PP).

2.3  La noción de fusión mereológica  

En la literatura se encuentran tres diferentes maneras de definir la noción de fusión mereológica (véase Hovda 2009 y Cotnoir y Varzi 2021, sección 5.1). Aquí vamos a centrarnos en la que parece más intuitiva.

Para que de un cierto objeto, como por ejemplo de un muro, se pueda afirmar que está compuesto por una cierta pluralidad de objetos, como por ejemplo unos ladrillos, parece que se tienen que cumplir dos requisitos principales (véase Loss 2021, sección 2):

(i)    el muro tiene que contener todos los ladrillos (si algunos ladrillos no estuvieran contenidos en el muro, ¿en qué sentido el muro estaría compuesto por estos?);

(ii)   los ladrillos tienen que cubrir completamente el muro (si hubiera una parte del muro en la que no se encontrara ni siquiera una parte de algún ladrillo el muro no estaría compuesto solamente por los ladrillos).

Estas nociones pre-teoréticas de ‘contener’ y ‘cubrir’ se pueden expresar mereológicamente de manera intuitiva al decir que:

(a)   todos los ladrillos deben ser parte del muro;

(b)   cada parte del muro debe tener por lo menos una parte en común con algunos ladrillos (de manera que no haya ninguna parte del muro completamente ‘libre’ de los ladrillos).

Para formular con más precisión esta noción de fusión mereológica vamos a utilizar los recursos que nos ofrece la llamada ‘lógica plural’ (véase Linnebo 2017). Aparte de términos singulares (‘a’, ‘b’, …, ‘x’, ‘y’, ….), los cuales se refieren a entidades singularmente, vamos a emplear también términos plurales (‘aa’, ‘bb’, …., ‘xx’, ‘yy’, …), los cuales se refieren pluralmente a entidades tomadas conjuntamente (como parecen hacer por ejemplo expresiones como ‘las Canarias’). De la misma manera, además de los  cuantificadores singulares (‘hay algo que’ (‘∃x’), ‘para toda entidad’ (‘ ∀x’)) podemos utilizar también cuantificadores plurales (‘hay entidades que’ (‘∃xx’), ‘para toda pluralidad de entidades’ (‘∀xx’)) los cuales cuantifican pluralmente sobre muchas entidades ‘tomadas conjuntamente’. Además, vamos a utilizar la relación de ‘ser una de’ (‘≺’) para decir cosas como ‘a es una de las bb’ (‘La Palma es una de las Islas Canarias’).  Definimos entonces la noción de fusión mereológica como sigue:

  • Fusión: x es la fusión mereológica de una pluralidad de entidades yy si y solo si:
    (i) las yy son todas partes de x;
    (ii) cada parte de x se solapa con al menos alguna de las yy.

2.4  Principios de extensionalidad

Después de haber considerado la mereología básica y la mereología mínima pasamos a considerar una mereología aún más fuerte, es decir la que Casati y Varzi (1999) llaman ‘mereología extensional’ (extensional mereology). En general, los principios mereológicos de extensionalidad son principios según los cuales, dada una cierta noción de ‘equivalencia mereológica’, si dos entidades x e y son mereológicamente equivalentes en ese sentido, se sigue que x e y son la misma entidad. El principio de extensionalidad que ha generado más discusión en la literatura es el principio según el cual las entidades compuestas (es decir, las entidades que poseen partes propias) que tienen las mismas partes propias son idénticas:

  • Extensionalidad de Parte Propia: si x e y son entidades compuestas que tienen las mismas partes propias, entonces x e y son idénticas

(véase, por ejemplo, Varzi 2008 y Cotnoir 2010). El principio de Extensionalidad de Parte Propia no es un teorema de la mereología mínima. Por ejemplo, el diagrama de la Ilustración 5 es compatible con la mereología mínima pero en él x e y son entidades diferentes que tienen las mismas partes propias (es decir, z1 y z2).

Ilustración 5

Casati y Varzi (1999) axiomatizan la mereología extensional añadiendo a la mereología básica el principio de Suplementación Fuerte (Strong Supplementation):

  • Suplementación Fuerte: si x no es parte de y, hay una parte de x que es disyunta de y

Como Suplementación Débil, también Suplementación Fuerte es un principio que parece muy intuitivo: si un cierto objeto (como por ejemplo una muñeca) no está completamente dentro de cierto objeto contenedor (por ejemplo una caja), esto parece implicar que habrá una parte de ese objeto (la mano de la muñeca, por ejemplo) que está completamente fuera del objeto contenedor. De la misma manera, si una entidad x no está contenida como parte en una entidad y, parece seguirse que habrá una parte de x que será completamente mereológicamente distinta de y y que, así, será disjunta de y.

2.5  El universalismo mereológico y la mereología clásica

La así-llamada mereología clásica (classical mereology) extiende la mereología extensional al añadirle el principio de universalismo mereológico (o simplemente ‘universalismo’):

  • Universalismo: Cada pluralidad de entidades tiene una fusión mereológica

El universalismo es una tesis muy controvertida. Sostiene, de hecho, que cualquier pluralidad de entidades (no importa cuán diferentes sean entre ellas o cuán separadas espacio-temporalmente estén) componen algo. Por ejemplo, según el universalismo hay algo que es la fusión mereológica del planeta Marte, mi mano izquierda y la Tour Eiffel en Paris, es decir, ¡algo que tiene estas tres entidades como partes y tal que todas sus partes se solapan por lo menos con una de éstas! A pesar del carácter controvertido del universalismo mereológico, la mereología clásica es una mereología que es tan fuerte como elegante.

Hay muchas maneras de axiomatizar la mereología clásica (véase Hovda 2009). Entre ellas, destacamos dos: (i) Transitividad (PP), Suplementación Débil y Universalismo;  (ii) Transitividad (P) y el principio  ‘Fusión Única’, según el cual cualquier pluralidad de entidades tiene una única fusión.

3. Mereologías no-clásicas

Se llama ‘mereología no-clásica’ a cualquier mereología que no cumpla con por lo menos uno de los teoremas de la mereología clásica. En esta sección consideramos brevemente algunas de las razones más importantes que se han dado para aceptar la idea que la verdadera teoría de la noción de parte es una mereología no-clásica. Los cuatro tipos más importantes de mereologías no-clásicas corresponden al rechazo de (i) Universalismo, (ii) Extensionalidad de Parte Propia, (iii) Suplementación Débil, o (iv) la mereología básica.  

3.1  Composición restricta

El reto principal de los que asumen que solo en ciertos casos una pluralidad de objetos logra componer algo es el de responder a la pregunta llamada por van Inwagen (1990) la ‘Pregunta Especial por la Composición’, es decir la pregunta acerca da las condiciones necesarias y suficientes para que una pluralidad de objetos componga algo. De hecho, según uno de los argumentos más importantes en favor del universalismo mereológico, el tipo de vaguedad que cualquier tipo de restricción plausible de la composición parece involucrar de forma inevitable es problemática (véase Lewis 1986, sección 4.3,  Sider 2001, capítulo 4, sección 9 y la entrada ‘Objectos materiales’, sección 3.1). Sin embargo, a pesar de este argumento el universalismo mereológico sigue siendo una tesis muy controvertida al poblar el universo con un elevadísimo número de objetos, muchos de los cuales desconectados espacialmente (y también temporalmente si asumimos una ‘teoría-B’ del tiempo; véase la entrada ‘El tiempo’, sección 4).

El universalismo está también relacionado con otros problemas, como el problema del cambio mereológico. Supongamos, por ejemplo, que en el momento de tiempo t1 un gato tiene cola, y supongamos que la pierde en t2. Según el universalismo, en t1 existe la diferencia mereológica entre el gato y su cola (el ‘gato-sin-cola’). Parece también intuitivo pensar que no le pasó nada al gato-sin-cola cuando el gato perdió su cola. Sin embargo, de esto se sigue que en t2 hay dos entidades (el gato y el gato-sin-cola) que ocupan la misma región de espacio (véase, por ejemplo, Sider 2001, capítulo 5). El rechazo del Universalismo es una manera de abordar este problema ya que permite negar que en t1, y así también en t2, exista el gato-sin-cola (esta es, por ejemplo, la solución preferida por van Inwagen (1981, 2006), quien sostiene que las únicas entidades compuestas son los organismos vivos).

3.2  Anti-extensionalismo

Piénsese en una estatua hecha de un trozo de arcilla. Si aplastamos la estatua la vamos a destruir, pero no destruiremos el trozo de arcilla, que simplemente cambiará de forma. Consideraciones de este tipo sugieren que la estatua y el trozo de arcilla son dos objetos diferentes. Algunos autores han sugerido que casos como este ejemplifican el fracaso de la idea de que objetos compuestos diferentes tienen que tener partes propias diferentes.

3.3 Problemas con Suplementación Débil

Algunos contraejemplos a Suplementación Débil que se pueden encontrar en la literatura dependen de asunciones metafísicas específicas. Por ejemplo, algunas tesis sobre la manera en la que los objetos persisten y cambian en el tiempo parecen permitir la posibilidad de viajes en el tiempo en los que un ladrillo viaja muchas veces de ida y vuelta en el tiempo hasta componer, él solo, lo que parece ser un muro de ladrillos (Effingham y Robson 2007; véase Cotnoir 2019 sobre otros ejemplos). Aunque este y otros casos pueden ser tomados como razones para rechazar Suplementación Débil, las asunciones de que dependen parecen ser bastante controvertidas.

3.4 Contra la mereología básica

En contra de los principios de transitividad se podría pensar, por ejemplo, que aunque la mano de Mick Jagger es parte de Mick Jagger y Mick Jagger es parte de los Rolling Stones, la mano de Mick Jagger no es parte de los Rolling Stones. En respuesta a este y otros escenarios se puede rechazar la idea de que Mick Jagger sea una ‘parte’ de los Rolling Stones distinguiendo la relación de parte de la relación de ‘ser miembro de’. Alternativamente, se podría aceptar que la mano de Jagger es parte de los Stones añadiendo al mismo tiempo que esta no tiene con los Stones ni la relación biológica que tiene con Jagger, ni el tipo de relaciones ulteriores que Jagger tiene con los Stones. Así la apariencia de que los principios de transitividad fracasan se debe en estos casos al hecho de que no todas las relaciones que las partes tienen con un todo se ‘transfieren’ a los todos más grandes en los que ellas están contenidas (véase Varzi 2006).

En contra de Irreflexividad (PP) se han presentado escenarios que involucran objetos que viajan al pasado (Kleinschmidt 2011),  conjuntos que se contienen a sí mismos como partes, y ‘proposiciones Russellianas’ que hablan de sí mismas (véase Kearns 2011). Como en el caso de Suplementación Débil, estos escenarios también dependen de asunciones metafísicas controvertidas.

El principio de anti-simetría de la relación de parte es rechazado por los anti-extensionalistas que aceptan la existencia de las ‘partes mutuas’ (Thomson 1983, Cotnoir 2010, 2016). Según estos autores, en el caso de la estatua y el trozo de arcilla, el trozo de arcilla es parte de la estatua y la estatua es parte del trozo de arcilla. Este tipo de teoría anti-extensionalista tiene unas ventajas teoréticas interesantes, como por ejemplo el hecho de que permite mantener Suplementación Fuerte (y también Suplementación Débil si la noción de parte propia está definida como ‘parte de y que no contiene y como parte’: x <y =df xyyx; véase Cotnoir 2010, 2016, 2019). Sin embargo, esta teoría tiene sus propios problemas. Por ejemplo, se sigue de esta propuesta que la nariz de la estatua es no solo parte de la estatua sino también del trozo de arcilla, lo que parece contraintuitivo (Baker 2000, pp. 179-184, Walters 2019).

4. Otros temas

Hay muchos otros temas filosóficos importantes acerca de la noción de parte. Por falta de espacio, solo destacamos aquí los siguientes:

  • Parece haber un sentido bastante claro según el cual una entidad compuesta no es ‘nada más’ que sus partes propias. Esta intuición se podría explicar de manera muy sencilla si se pensara que las entidades compuestas son, literalmente, idénticas a sus partes tomadas conjuntamente (como dice la tesis que se suele llamar ‘composición como identidad’; véase Lewis 1991, sección 3.6). Pero, ¿cómo puede una entidad ser idéntica a muchas entidades? Y, por otro lado, si esta idea es falsa, ¿en qué sentido una entidad compuesta no es ‘nada más’ que sus partes? (véase Cotnoir y Baxter 2014).
  • En mereología es normal pensar que la relación de parte es absoluta. Sin embargo, el fenómeno del cambio mereológico sugiere que la noción de parte tiene que ser relativizada a momentos de tiempo, y así algo pueda ser parte de un objeto x en el tiempo t pero no ser parte de x en el tiempo t*. ¿Cuál es la relación entre las dos nociones de parte (absoluta y temporal)? ¿Cuál es la más fundamental? (véase Thomson 1983 y Sider 2001, capítulo 3).
  • Podría pensarse que la manera en la que mi mano es parte de mi cuerpo es diferente de la manera en la que, por ejemplo, la letra ‘ñ’ es parte de la palabra ‘sueño’. Según los monistas hay una noción de parte que es más fundamental que todas las otras; según los pluralistas hay una pluralidad de nociones de parte que son más fundamentales que todas las otras y tal que ninguna de estas es más fundamental que las otras. ¿Cuál es la postura correcta? (véase Fine 2010, sección 2, y McDaniel 2010, sección 2)

Roberto Loss
(Universidad Complutense de Madrid)

Referencias

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  • Cotnoir, A. y Baxter, D. (eds.) (2014) Composition as Identity, Oxford University Press.
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  • Leśniewski, S. (1931) O podstawach matematyki (On the foundations of mathematics).
    Przeglad Filozoficzny, XXXIV: 142–170. Existe traducción al inglés en Leśniewski, S. (1991: 174-381).
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  • Walters, L. (2019) “Are The Statue and The Clay Mutual Parts?” Noûs, 53: 23-50.

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Cómo citar esta entrada

Loss, Roberto (2022) “Mereología”, Enciclopedia de la Sociedad Española de Filosofía Analítica (URL: http://www.sefaweb.es/mereologia/)