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La paradoja Sorites

1. Contexto histórico

La paradoja Sorites es una de las paradojas más antiguas, venerables y complejas del panorama filosófico contemporáneo. Según la tradición historiográfica, la paradoja fue formulada por primera vez por Eubúlides de Mileto (fl. s. IV a.C.), un importante miembro de la Escuela Megárica, contemporáneo de Aristóteles y famoso por su afán polemista. Según Diógenes Laercio, Eubúlides “redactó muchos argumentos dialécticos” (2007, II. 108, p. 135), entre los cuales destacan, sobre todo, la paradoja Sorites y la paradoja del Mentiroso. La palabra ‘sorites’ proviene de la palabra griega ‘soros’, que significa ‘montón’. La paradoja Sorites recibe este nombre debido a que, según Cicerón y Galeno, las primeras versiones usaban esta expresión en su formulación.

No conocemos cuáles eran las motivaciones que llevaron a Eubúlides a formular dichos argumentos; según una tradición historiográfica, Eubúlides y la Escuela Megárica se caracterizaron por producir argumentos “áridos y erísticos”, los cuales, aunque “inteligentes”, eran inútiles y sin interés (Zeller 1931, p. 107). Este punto de vista se remonta, por lo menos, a Cicerón, quien consideraba la paradoja Sorites como “un género vicioso y capcioso” (1990, II.XVI 49, p. 44) y, los argumentos megáricos en general, como “sofismas […] intricados y picantes” (II. XXIV 75, p. 57).

Sin embargo, otra tradición historiográfica mantiene que es poco creíble suponer que Eubúlides propusiera sus argumentos como meros acertijos sin interés y que, muy probablemente, estaba intentando ilustrar y justificar algunas tesis de la escuela megárica (Kneale y Kneale 1971, p. 108). Una de las hipótesis, entre otras, que dicha tradición historiográfica baraja es que Eubúlides podría haber estado polemizando con Aristóteles, tal vez criticando, por ejemplo, su teoría del infinito en potencia (Beth 1954), o tal vez alguna de sus propuestas en el campo de la ética (Moline 1969). (Para más discusión alrededor del papel de la paradoja en la antigüedad véase, por ejemplo, Barnes 1982, Burnyeat 1982 y Wheeler 1983. Para una panorámica de la historia de la paradoja Sorites des de la Grecia antigua hasta Leibniz véase Santos 2019; véase también Williamson 1994, cap. 1.)

2. La paradoja Sorites

La paradoja Sorites aparece en el marco del fenómeno, más general, de la vaguedad. La vaguedad puede afectar a diversos tipos de expresiones lingüísticas (predicados, sustantivos, verbos, preposiciones, etc.) y también, seguramente, a representaciones mentales, como los conceptos. Para simplificar, nos centraremos en la vaguedad que se da en predicados; a saber, expresiones que denotan una propiedad, como ‘calvo’, ‘alto’, ‘joven’, ‘rojo’, etc. La principal característica de los predicados vagos es que, aunque se aplican de forma clara en algunos casos (por ejemplo, alguien con 0 cabellos es calvo) y no se aplican, también de forma clara, en otros (por ejemplo, alguien con 100.000 cabellos no es calvo), existen otros casos en los que la aplicación del predicado es dudosa. Dudosa en el sentido de que somos reacios a aplicar el predicado, pero también somos reacios a no aplicarlo y, crucialmente, nos parece que ninguna investigación (ni conceptual ni empírica) puede ayudar a esclarecer la duda en cuestión. Así, por ejemplo, hay ciertos individuos de los cuáles no sabríamos decir si son calvos o no y no nos parece que esta indecisión se pueda resolver analizando más el significado de ‘calvo’ o contando con exactitud la cantidad de cabellos del individuo en cuestión. Éstos serían, entonces, casos dudosos (borderline cases) del predicado ‘calvo’. La existencia de casos dudosos constituye, pues, un importante rasgo de las expresiones vagas (la caracterización de la vaguedad en términos de casos dudosos se puede encontrar ya en Pierce 1902, p. 748, donde se caracteriza la vaguedad en términos de incerteza intrínseca).

La existencia de casos dudosos pone de manifiesto otra de las principales características de los predicados vagos; a saber, la aparente inexistencia de límites precisos entre los casos en los que el predicado se aplica y los casos en los que no. Así, no parece que haya un límite preciso de cabellos que separe los individuos calvos de los que no lo son; es decir, por lo que parece, no hay ninguna cantidad de cabellos n, tal que alguien con n cabellos sea calvo, pero alguien con n+1 cabellos no lo sea; es decir, que ser calvo no parece depender de un cabello más o menos.

Esta característica de los predicados vagos es la que, precisamente, se pone de manifiesto en la paradoja Sorites. La idea detrás de la paradoja es la siguiente. Dado que alguien con 0 cabellos es, claramente, calvo y dado que ser calvo no depende de un cabello más o menos (porque no hay ningún límite preciso entre los que son calvos y los que no), alguien con 1 cabello también es calvo. Pero si alguien con 1 cabello es calvo, por la misma razón anterior, alguien con 2 cabellos también es calvo. Así, esta pequeña línea de argumentación puede repetirse tantas veces como sea necesario para concluir, finalmente, que alguien con 100.000 cabellos también es calvo. Parece, pues, que, partiendo de premisas que parecen verdaderas, hemos podido concluir (siguiendo patrones de argumentación que parecen correctos) algo que parece falso. Estamos, pues, delante de los signos distintivos de una paradoja; un argumento aparentemente válido con premisas aparentemente verdaderas y conclusión aparentemente falsa.

De forma un poco más precisa, la paradoja Sorites se puede enunciar, en una de sus formas más simples, de la siguiente forma, dado un predicado vago cualquiera F y una serie de objetos a1, a2, …, an:

  • Fa1
  • Si Fa1, entonces Fa2
  • Si Fa2, entonces Fa3
  • Si Fan-1, entonces Fan
  • ———————————
  • Por tanto, Fan

Para que un argumento con esta forma sea una paradoja es suficiente con que se den las siguientes condiciones (sobre la suficiencia de estas condiciones véase Barnes 1982, sobre su no necesidad, véase Oms y Zardini 2019, n. 14, Zardini 2021, p. 501 y Oms 2022, p. 5)

  1. El predicado F tiene que ser verdadero (al menos aparentemente) del objeto a1; por ejemplo, si F es el predicado ‘calvo’, a1 puede ser un individuo con 0 cabellos.
  2. El predicado F tiene que ser falso (al menos aparentemente) del objeto an; por ejemplo, si F es el predicado ‘calvo’, an puede ser un individuo con 100.000 cabellos. 
  3. La serie de objetos a1, a2, …, an tiene que ser lo que normalmente se llama una serie sorítica; a saber, una serie tal que todas las parejas de objetos contiguos son indiscriminables respecto a la aplicación del predicado F; es decir, que, para cualquier i, 1 ≤ i > n, Fai si, y solo si, Fai+1. Así, por ejemplo, la serie a1, a2, …, anpuede consistir en individuos tales que, si ai tiene n cabellos, ai+1 tiene n+1 cabellos, de tal forma que ai es calvo si, i sólo si, también lo es ai+1 (porque, recordemos, ser calvo no depende de un cabello más o menos).

La paradoja Sorites puede adoptar otras formas. Así, por ejemplo, las premisas en forma de condicional se pueden expresar con una sola premisa de la forma: para cada i, si Fai, entonces Fai+1 (para un análisis de las diferentes versiones de la paradoja véase, por ejemplo, Hyde y Raffman 2018, sec. 2 y Oms y Zardini 2019, pp. 6-7 ).

Ahora podemos observar porque la paradoja Sorites es un problema filosófico especialmente acuciante y profundo. Por una parte, especialmente en sus formulaciones más simples como la anterior, los recursos lógicos que usa son mínimos; en este caso, modus ponens (el patrón de argumentación según el cual de A y de si A entonces B, se sigue B) y la transitividad de la consecuencia lógica. Por otra parte, la paradoja parece afectar la gran mayoría de las expresiones y los conceptos que usamos para describir, conceptualizar y categorizar el mundo que nos rodea: expresiones como ’calvo’, ‘alto’, ‘joven’, ‘rojo’, ‘bueno’, ‘simpático’, ‘bello’, etc.

La paradoja señala, pues, una fuerte tensión que impregna profundamente todo nuestro aparato conceptual y expresivo.

3. Soluciones a la paradoja Sorites

A continuación, veremos tres de las principales soluciones que se han propuesto para lidiar con la paradoja Sorites. En primer lugar, veremos dos ejemplos de soluciones que intentan preservar la lógica clásica: el superevaluacionismo y el epistemicismo. Dejaremos de lado, por razones de espacio, algunas de las soluciones que, típicamente, se enmarcan también en este tipo de propuestas; principalmente, las contextualistas y las incoherentistas (para las primeras, véase, por ejemplo, Fara 2000, Raffman 1994, 2014 y Bones y Raffman 2019; para las segundas, véase, por ejemplo, Dummet 1975, Horgan 1994 y Eklund 2002, 2005, 2019).

En segundo lugar, veremos un ejemplo de solución que propone revisar la lógica clásica: la propuesta gradualista. Dejaremos de lado, otra vez por razones de espacio, algunas de las soluciones que típicamente se enmarcan en este tipo de propuestas; principalmente, las intuicionistas, las dialetheistas y las subestructurales (para las primeras, véase, por ejemplo, Wright 2019, 2021; para las segundas, véase, por ejemplo, Priest 2010, 2019 y Oms y Zardini 2021; para las terceras, véase, por ejemplo, Zardini 2008, 2019 y Slaney 2011).

3.1. Superevaluacionismo

De acuerdo con el superevaluacionismo, la vaguedad es un fenómeno lingüístico: si a es un caso dudoso de cierto predicado vago F, entonces la aplicación de F al objeto a es indeterminada y la aplicación de la negación de F al objeto a también. Esto se suele traducir en una falta de valor de verdad de los enunciados que resultan de la aplicación de un predicado vago a un caso dudoso de dicho predicado; dichos enunciados no son ni verdaderos ni falsos. Típicamente, los superevaluacionistas defienden que no atribuir valor de verdad a este tipo de oraciones captura parte de la fenomenología que asociamos a los predicados vagos en situaciones en las que dudamos si el predicado se aplica o no se aplica y, en consecuencia, no estamos dispuestos a afirmar que se aplica, pero tampoco estamos dispuestos a negar que se aplica (véase, por ejemplo, Cobreros y Tranchini 2019, p. 38).

El hecho de que el superevaluacionismo afirme que hay enunciados que no tienen valor de verdad (podríamos decir: que son indeterminados), significa que, según esta propuesta, el Principio de Bivalencia, según el cual todo enunciado es o bien verdadero, o bien falso (y no las dos cosas a la vez), falla. Sorprendentemente, aunque el superevaluacionismo pueda ofrecer contraejemplos al Principio de Bivalencia (a saber, los enunciados indeterminados), sí permite preservar uno de los principios constitutivos de la lógica clásica: el Principio del Tercio Excluso. Según este principio, todo enunciado de la forma A o no A es necesariamente verdadero. De hecho, el superevaluacionismo no solamente consigue preservar el Principio del Tercio Excluso, sino, hasta cierto punto, la noción clásica de consecuencia lógica en su totalidad. Para entender por qué esto es así, es necesario ver cuál es la semántica que el superevaluacionismo propone.

La semántica superevaluacionista debe su nombre a Bas van Fraassen (1966), quien la usó para lidiar con casos de indeterminación causados por términos sin denotación. Su aplicación a la vaguedad se remonta a Mehlberg (1956), aunque el locus classicus de aplicación de las ideas superevaluacionistas al caso de la vaguedad y la paradoja Sorites es Kit Fine (1975). Una de sus defensas más detalladas y extensas hasta el momento es Keefe (2000).

La estrategia que sigue el superevaluacionismo para enfrentare al fenómeno de la vaguedad y la paradoja Sorites se basa en el uso de formas razonables de hacer los predicados vagos precisos. Pensemos, por ejemplo, en el predicado vago ‘alto’. Hay muchas formas de hacer este predicado preciso; así, podemos decidir que, dado un caso dudoso de ‘alto’, digamos una persona que mide 180 cm, esta sea considerada como alta en algunas de estas formas de precisar el predicado y sea considerada como no-alta en otras. La idea es que no tenemos ninguna razón para preferir una opción sobre la otra. Llamaremos precisiones a dichas formas de hacer los predicados vagos precisos. En una de las formulaciones más habituales del superevaluacionismo, dichas precisiones deben ser completas y admisibles (defendida, con detalle, en Keefe 2000).

Que las precisiones sean completas significa que deciden todos los casos de aplicación del predicado; es decir, que, si F es un predicado vago y a es un caso dudoso de la aplicación de dicho predicado, que una precisión sea completa significa que o bien a es F o bien no lo es y, por tanto, la aplicación de F al objeto a es o bien verdadera (en el primer caso) o bien falsa (en el segundo caso). Así, en una precisión completa no falla el Principio de Bivalencia.

Que las precisiones sean admisibles significa que no contradicen las intuiciones básicas que tenemos respecto a los predicados a los que hacen precisos. Pensemos otra vez en el predicado ‘calvo’. Hay seres humanos que, claramente, son calvos (los que tienen, por ejemplo, 0 cabellos) y otros que, claramente, no lo son (los que tienen, por ejemplo, 100.000 cabellos). Toda precisión admisible debe contar a los primeros como calvos y a los segundos no; es decir, para ser admisibles, las precisiones deben respetar los casos claros de aplicación y los de no-aplicación del predicado vago al que hacen preciso. Hay otras intuiciones que las precisiones deben respetar para ser admisibles, intuiciones que capturan relaciones de comparación y conexiones analíticas entre predicados diferentes (Fine 1975 llamó a estas relaciones y conexiones, conexiones de penumbra); así, por ejemplo, volviendo al predicado ‘alto’, si Guillem es más alto que Alicia, ninguna precisión admisible puede considerar a la segunda alta sin considerar alto al primero; así, en la situación descrita, en la que Guillem es más alto que Alicia, el enunciado ‘si Alicia es alta, Guillem también’ tiene que ser verdadero en toda precisión admisible del predicado ‘alto’.

En la semántica superevaluacionista, un enunciado es verdadero cuando es verdadero en todas la precisiones completas y admisibles de los predicados vagos que aparecen en el enunciado. Y es falso cuando no es verdadero en ninguna de ellas (es decir, cuando es falso en todas ellas). La idea es que los enunciados que son verdaderos lo son independientemente de cómo hagamos precisos los predicados vagos que contienen; pongamos donde pongamos los límites que separan los casos de aplicación del predicado de los casos de no-aplicación del predicado, el enunciado es verdadero. Dicho de otra manera, la verdad solo nos compromete con aquello que no depende de donde pongamos los límites de los predicados vagos.

Es importante notar que hay una diferencia entre la noción de verdad en una precisión y la noción de verdad, digamos, simpliciter (ser verdadero en todas las precisiones). A menudo, se llama a la segunda super-verdad. Así, resumiendo, según el superevaluacionismo un enunciado es super-verdadero cuando es verdadero en toda precisión y super-falso cuando es falso en toda precisión.

Veamos algunos ejemplos. Supongamos que Alicia es un caso dudoso del predicado vago ‘alto’. Esto significa que, dado que no es ni un caso claro de aplicación de ‘alto’, ni tampoco un caso claro de su no-aplicación, la admisibilidad de las precisiones deja abierta la posibilidad de que, en algunas de ellas, Alicia cuente como alta, y en otras, no. Así, el enunciado ‘Alicia es alta’ es verdadero en algunas de las precisiones y falso en otras. Por tanto, el enunciado ‘Alicia es alta’ no es ni super-verdadero ni super-falso; ya que no es el caso que el enunciado sea verdadero en todas las precisiones completas y admisibles de ‘alto’ (que es lo que debería de pasar para que fuera super-verdadero) pero tampoco es el caso que no lo sea en ninguna (que es lo que debería de pasar para que fuera super-falso). Falla, pues, como hemos dicho, el Principio de Bivalencia. Por otra parte, si nos fijamos en el enunciado ‘Alicia es alta o no lo es’, dado que las precisiones son completas (es decir, cuentan a Alicia o bien como alta o bien como no-alta), dicho enunciado es verdadero en toda precisión completa y admisible de ‘alto’; ya sea porque Alicia cuenta como alta en dicha precisión (y, entonces, es verdadero el primer componente de la disyunción), o ya sea porque Alicia no cuenta como alta en dicha precisión (en cuyo caso es verdadero el segundo componente de la disyunción). En consecuencia, el enunciado ‘Alicia es alta o no lo es’ es super-verdadero. Se pude ver, así, por qué se satisface la Ley del tercio Excluso.

Vamos a ver ahora como el superevaluacionismo soluciona la paradoja Sorites. Recordemos que la paradoja Sorites es problemática porque parece ser un argumento válido que, a partir de premisas que parecen verdaderas nos permita concluir algo que parece falso. La estrategia superevaluacionista consiste en negar que las premisas sean super-verdaderas. Tomemos, por ejemplo, la formulación de la paradoja que usa condicionales de la forma ‘Si Fai, entonces Fai+1’, donde, recordemos, F es un predicado vago y ai y ai+1 son objetos contiguos en la serie sorítica que genera la paradoja. En algunos de estos condicionales se dará el caso que tanto ai como ai+1 sean casos dudosos de F. Así, ambos contaran como F en algunas precisiones y como no-F en otras. En las precisiones en las que los dos cuentan como F, el condicional ‘Si Fai, entonces Fai+1’ es verdadero; en las precisiones en las que a1 cuenta como no-F (independientemente de cómo quede clasificado a2), el condicional también es verdadero; pero en la precisión en la que ai cuenta como F y ai+1 no, el condicional es falso. Por tanto, el condicional es verdadero en algunas precisiones y falso en otras; es decir, que no es ni super-verdadero ni super-falso. Si, como hemos visto, identificamos ahora la super-verdad con la verdad simpliciter, vemos que no es el caso que las premisas de la Sorites sean verdaderas; al menos algunas de ellas no lo son (aunque tampoco sean falsas). Así, la Sorites, según el superevaluacionista, ya no hace que tengamos que comprometernos con su conclusión, ya que el argumento ya no es correcto; es decir, aunque sea lógicamente válido, no todas sus premisas son verdaderas y, en consecuencia, ya no implica la verdad de su conclusión.

Es importante notar que la premisa ‘para cada i, si Fai, entonces Fai+1’, que, como hemos dicho, se usa en otras formulaciones de la paradoja no es solamente no-verdadera, sino que es simplemente falsa (identificando, como antes, la super-verdad y la super-falsedad con la verdad y la falsedad simpliciter). Esto es así porque en toda precisión hay un i tal que es el caso que Fai pero no es el caso que Fai+1; es decir, en toda precisión hay dos objetos contiguos en la serie sorítica tales que el primero es F pero el segundo no (dado que la precisión es completa). Por tanto, en cada precisión, el enunciado ‘para cada i, si Fai, entonces Fai+1’ es falso y, así, el enunciado es falso. Cabe notar que, si este enunciado es falso, su negación es verdadera; es decir, que el enunciado ‘existe un i tal que Fai y no-Fai+1’ es verdadero (al menos en lógica clásica, donde ¬∀xφ es lógicamente equivalente a ∃x¬φ). Pero este último enunciado expresa la existencia de un límite exacto en la serie sorítica entre los objetos que son F y los que no. Así, vemos que el superevaluacionismo acepta que los predicados vagos tienen límites precisos; hay un pelo de diferencia entre los individuos que son calvos y los que no. Aun así, dicha aceptación es solamente nominal, en el sentido de que, aunque el superevaluacionista acepta que los predicados vagos tienen límites precisos, no hay ningún lugar en particular donde podamos ubicar dichos límites. Esta consecuencia del superevaluacionismo ha sido criticada como un fallo a la hora de capturar el significado habitual de las afirmaciones existenciales (véase, por ejemplo, Williamson 1994, pp. 153-154); así, el superevaluacionismo no conseguir´ía capturar la idea, que parece perfectamente natural, según la cual que sea verdad que existe un objeto que tal y cual implica que efectivamente hay un objeto que tal y cual (es decir, que las afirmaciones existenciales verdaderas tienen ejemplificaciones verdaderas). El superevaluacionismo parece aceptar lo primero sin aceptar lo segundo. (Para una discusión más detallada de las ventajas y los inconvenientes de las propuestas superevaluacionistas véase Cobreros y Tranchini 2019.)

3.2. Epistemicismo

Según el epistemicismo, la vaguedad es una forma de ignorancia; los predicados vagos tienen límites precisos entre los objetos a los que se aplican y los objetos a los que no se aplican, pero dichos límites nos resultan incognoscibles. Además, según el epistemicismo, tendemos a tomar esta ignorancia, equivocadamente, como evidencia de que dichos límites precisos no existen; la idea es que, como no podemos saber dónde están, nos parece que no existen.

A diferencia del superevaluacionismo, el epistemicismo no defiende la existencia de dichos límites solo nominalmente, sino que defiende la existencia de una cantidad concreta en particular de, digamos, cabellos, que hacen que alguien sea o deje de ser calvo. Por tanto, según el epistemicismo, un cabello sí importa para ser calvo o no ser calvo, aunque qué cantidad exacta de cabellos es la que marca la diferencia es algo que nos resulta epistémicamente inaccesible. La solución a la paradoja Sorites es, entonces, inmediata: uno de los condicionales de la forma ‘Si Fai, entonces Fai+1’ es falso; a saber, el condicional que menciona los objetos que quedan a ambos lados del límite preciso de F, de tal forma que, aunque ai y ai+1 sean indiscriminables respecto de la aplicación de F, el primero es F y el segundo no. Análogamente, la premisa ‘para cada i, si Fai, entonces Fai+1‘ también es, simplemente, falsa, ya que, precisamente, dicha premisa niega la existencia de límites precisos. Y el epistemicismo, como hemos dicho, afirma la existencia de límites precisos. Se preservan, pues, el Principio de Bivalencia y la lógica clásica en su totalidad; no es necesaria ninguna revisión ni de la lógica clásica ni tampoco de la semántica clásica.

La principal dificultad de las posturas epistemicistas consiste en explicar cuál es la naturaleza y cuáles son las razones de la mencionada inaccesibilidad epistémica a los límites precisos de los predicados vagos.

En la discusión contemporánea, las ideas epistemicistas aplicadas a la vaguedad y a la paradoja Sorites aparecen ya mencionadas en Cargile (1969) y han sido defendidas, por ejemplo, por Sorensen (1988, 2001), Williamson (1994) Horwich (1997) y Kearns y Magidor (2008). De todas estas propuestas, la más completa y detallada es la de Williamson, así que nos centraremos en ella.

Para explicar la naturaleza de la ignorancia que afecta a los predicados vagos, Williamson usa la idea según la cual para que una creencia A constituya conocimiento es necesario que dicha creencia no se hubiese podido formar fácilmente en una situación donde A fuera falsa. Por ejemplo, supongamos que observo el árbol que se ve desde mi ventana y me pregunto cuál debe de ser su altura. Supongamos que, basándome solamente en una suposición a primera vista (con una estimación a ojo), adquiero la creencia de que el árbol mide 3 m y 34 cm. Y supongamos que, de hecho, el árbol mide efectivamente 3 m y 34 cm. En esta situación no diríamos que que el árbol mide 3 m y 34 cm. La idea es que, mi creencia de que el árbol mide 3 m y 34 cm no constituye conocimiento porque, si el árbol hubiera medido 3 m y 33 cm yo igualmente hubiera adquirido la creencia de que mide 3 m y 34 cm. Digamos que, mi creencia, era verdadera por casualidad, o por suerte, y no era lo bastante segura; no era segura en el sentido de que existe una situación posible semejante a la descrita donde la creencia es falsa, pero en la que yo adquiero la creencia igualmente. Comparemos esta situación con otra en la que cojo una escalera, un metro y bajo al jardín a medir cuidadosamente el árbol. En esta segunda situación, si adquiero la creencia de que el árbol mide 3 m y 34 cm en base a mis mediciones, no hubiera adquirido dicha creencia en una situación en la que el árbol hubiera medido 3 m y 33 cm, ya que mis mediciones, en esta segunda situación, habrían dado como resultado 3 m y 33 cm y no 3 m y 34 cm. Por tanto, en esta segunda situación sí podemos obtener conocimiento, ya que la creencia es segura, en el sentido ya mencionado.

A partir de esta idea Williamson razona de la siguiente forma. Williamson mantiene que el significado de las palabras (ya sean vagas o no) está determinado por el uso que los miembros de una comunidad lingüística hacen de ellas. Así, si en dos situaciones posibles la palabra ‘alto’ se usa exactamente de la misma forma, su significado (y con él, el límite preciso entre los individuos altos y los no-altos) es el mismo. Además, dice Williamson, la relación que hay entre el uso de una expresión y su significado es muy frágil y compleja, de tal forma que pequeños cambios en el uso de, por ejemplo, la expresión ‘alto’ provocan cambios en su significado y, por tanto, cambios en cuáles son los objetos que son altos y cuáles no. Pero estos pequeños cambios, según Williamson, son muchas veces indetectables y, además, la función que determina el significado a partir de su uso es demasiado compleja, lo cual nos pone en una situación similar a la del árbol anterior. Es decir, supongamos que adquiero la creencia de que el límite preciso de ‘alto’ es, exactamente, 1 m y 76 cm. Supongamos que, de hecho, el uso que en este momento se hace de la expresión ‘alto’ determina que, efectivamente, el límite preciso entre los altos y los no-altos es 1 m y 76 cm. Dicha creencia no puede constituir conocimiento por la misma razón que mi estimación a ojo de la altura del árbol tampoco lo podía constituir: a saber, en una situación en la que el uso de ‘alto’ fuera ligeramente diferente (estableciendo el límite preciso, por ejemplo, en 1 m y 75 cm) yo igualmente me hubiera formado la creencia de que el límite está situado en 1 m y 76 cm, ya que no habría podido detectar los cambios relevantes que causan los cambios en el significado de ‘alto’. Así, en general, mis creencias sobre los límites precisos de los predicados vagos nunca pueden constituir conocimiento, que es lo que Williamson quería concluir.

El Epistemicismo tiene como ventaja que soluciona la paradoja Sorites de forma simple y elegante y que no involucra ninguna revisión de la lógica y la semántica clásicas. Por otra parte, algunas de las objeciones que ha recibido son las siguientes. Rosana Keefe (2000, pp. 71-72), por ejemplo, ha acusado al epistemicismo de ser una propuesta demasiado contraintuitiva, en el sentido que no puede explicar ni tan siquiera porque no nos formamos creencias sobre la localización de los presuntos límites precisos de los predicados vagos; así, lo relevante a explicar (y lo que el epistemicismo no puede explicar, dice Keefe) no es que no conozcamos dichos límites, sino que ni tan siquiera tengamos creencias sobre ellos. Según Graham Priest (2019, pp. 147), por ejemplo, las propuestas epistemicistas no pueden concluir tan fácilmente como pretenden que tomemos la ignorancia de los límites precisos de los predicados vagos como evidencia de que estos no existan, ya que, dice Priest, hay muchas cosas que no conocemos y de cuya existencia no dudamos. (Para una discusión más detallada de las ventajas y los inconvenientes de las propuestas epistemicistas véase Magidor 2019.)

3.3. Propuestas gradualistas

Una reacción que surge de forma muy natural cuando pensamos en predicados vagos es que su aplicación es una cuestión de grado; los individuos son más calvos o menos calvos que otros individuos; las personas son más altas o menos altas que otras personas; los objetos son más rojos o menos rojos que otros objetos …

Las propuestas gradualistas intentan precisar esta idea. Y lo hacen, típicamente, capturando los grados de aplicación de los predicados vagos con el intervalo cerrado de números reales o racionales [0,1], donde 0 representa la falsedad, 1 la verdad y el resto de los números representan los valores de verdad intermedios que capturan la naturaleza gradual de los predicados vagos. Así, por ejemplo, si Alicia y Guillem son casos dudosos del predicado ‘alto’ y Guillem es más alto que Alicia, tal vez el enunciado ‘Alicia es alta’ tiene el valor de verdad de 0.5 y el enunciado ‘Guillem es alto’ tiene el valor de verdad de 0.7. La verdad es, pues, una cuestión de grado.

Algunas de las ideas que acabarían incorporándose en las propuestas gradualistas se encuentran ya en Łukasiewicz y Tarski (1930) y Black (1937). Pero la primera propuesta gradualista plenamente desarrollada la introdujo Joseph Goguen (1969). Diferentes propuestas gradualistas se pueden encontrar defendidas, por ejemplo, en Lakoff (1973), Machina (1976), Forbes (1983), Edgington (1997), Smith (2008) y Paoli (2003, 2019).

Aunque no hay consenso entre las diferentes propuestas gradualistas, seguiremos a Paoli (2019) y presentaremos sucintamente lo que él llama la Propuesta Difusa Estándar (PDE). La PDE, si bien se distancia en algunos aspectos importantes de las principales propuestas gradualistas, nos permitirá hacernos una idea suficientemente precisa de cuál es la respuesta gradualista a la paradoja Sorites.

La PDE usa el intervalo cerrado de números racionales [0,1] como conjunto de valores de verdad y la lógica de infinitos valores de Łukasiewicz. Dicha lógica usa una semántica veritativo-funcional; es decir, que el valor de verdad de las expresiones complejas construidas con las conectivas lógicas depende unívocamente del valor de verdad de sus partes menos complejas. Las condiciones de verdad para las conectivas lógicas son las siguientes, donde |φ| denota el valor de verdad numérico de la expresión φ (es decir, |φ|∈ [0, 1]):

|¬φ| = 1 – |φ|,
|φ & ψ| = min(|φ|, |ψ|); es decir, el mínimo de los dos valores |φ| y |ψ|,
|φ ∨ ψ| = max(|φ|, |ψ|); es decir, el máximo de los dos valores|φ| y |ψ|,
|φ → ψ| = 1, si |φ| ≤ |ψ|;
  1 – (|φ|-|ψ|) (o, alternativamente, 1 – |φ| + |ψ|), si |φ| >|ψ|

La noción de consecuencia lógica se define en términos de preservación necesaria del valor de verdad 1; es decir, un argumento es lógicamente válido según la PDE cuando, si todas sus premisas tienen valor de verdad 1, su conclusión también tiene valor de verdad 1.

Para ver como la PDE puede responder a la paradoja Sorites es importante que nos fijemos en el comportamiento del condicional, que, como veremos a continuación, intenta capturar la pérdida de verdad, por así decirlo, que puede darse del antecedente al consecuente. Como se ve en sus condiciones de verdad, un condicional toma el valor de verdad máximo cuando el valor de verdad del antecedente es menor o igual que el valor de verdad del consecuente; es decir, un condicional toma el valor de verdad máximo cuando no hay pérdida de verdad del antecedente al consecuente. ¿Qué pasa cuándo sí hay pérdida de verdad del antecedente al consecuente? Como se puede observar en las condiciones de verdad del condicional, la pérdida de verdad (es decir la diferencia de valor de verdad que hay entre el antecedente y el consecuente) se resta del valor de verdad máximo (es decir, de 1). Por ejemplo, volviendo al ejemplo anterior, supongamos que el enunciado ‘Alicia es alta’ tiene valor de verdad de 0.5 y el enunciado ‘Guillem es alto’ tiene valor verdad de 0.7. Entonces, el enunciado ‘Si Guillem es alto, entonces Alicia es alta’ tendrá valor de verdad 1 – (|‘Guillem es alto’|- |‘Alicia es alta’ |) = 1 – (0.7 – 0.5) = 1 – 0.2 = 0.8. Es decir, primero calculamos la pérdida de verdad del antecedente al consecuente (que en este caso es de 0.2) y restamos esta cantidad del valor máximo de verdad que el condicional podría tener.

Vamos a ver ahora como la PDE propone solucionar la paradoja Sorites. La primera premisa, Fa1, tendrá valor 1, ya que hemos supuesto que a1 era un caso claro de aplicación de F. Tal vez alguno de los condicionales que siguen a la primera premisa también tendrán valor 1, pero, tarde o temprano, nos adentraremos en la zona de casos dudosos de aplicación de F. Es decir, que, tarde o temprano llegaremos a un i tal que el valor de verdad de Fai+1 será menor que el valor de verdad de Fai y, por tanto, el valor de verdad del condicional ‘Si Fai, entonces Fai+1’ será 1 menos la diferencia de verdad entre Fai y Fai+1. Esta diferencia, tal como hemos caracterizado la serie sorítica a1, a2, …, an, será muy pequeña, pero suficiente para que el valor de la premisa ‘Si Fai, entonces Fai+1’ sea menor que 1. Y a partir de este punto, las premisas, aunque mantienen un valor de verdad siempre cercano a 1, empiezan, por así decirlo, a “gotear” verdad, de tal forma que el valor de verdad de sus consecuentes va disminuyendo gradualmente, hasta llegar a la conclusión falsa (con valor 0) Fan. Por tanto, como en el caso del supervaluacionismo y del epistemicismo, según la PDE, el argumento de la paradoja Sorites no es un argumento correcto, ya que no es verdad que todas sus premisas tengan valor de verdad 1, y, por tanto, aunque sea lógicamente válido, no implica que la conclusión tenga valor 1.

Además, la PDE puede explicar por qué nos parece que el argumento de la Sorites es correcto, ya que, aunque sus premisas no tengan valor 1, sí tienen valores muy cercanos a 1, lo cual puede hacernos pensar, equivocadamente, que son verdaderas.

Una de las principales objeciones que han recibido las propuestas gradualistas como la PDE tiene que ver con la asignación de los valores de verdad a los enunciados simples como ‘Alicia es alta’. El problema es que no parece que haya ningún hecho que pueda determinar que el valor de verdad de dicho enunciado sea, digamos, 0.456, y no 0.457 (véase, por ejemplo, Keefe 1998, p. 571). (Para una discusión más amplia de las críticas que las teorías gradualistas han recibido y las respuestas y revisiones que dichas críticas han provocado, véase, por ejemplo, Smith 2008 y Paoli 2019.)

Sergi Oms
(Universitat de Barcelona, Logos Group, BIAP)

Referencias

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Lecturas recomendadas en castellano

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  • Kneale, W. y Kneale, M. (1908), El desarrollo de la lógica. Madrid: Tecnos.
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Oms, Sergi (2022), “La paradoja Sorites”,  Enciclopedia de la Sociedad Española de Filosofía Analítica: http://www.sefaweb.es/la-paradoja-sorites

Pluralismo lógico

El pluralismo lógico afirma que hay más de una lógica correcta. Esto es, resuelve las afirmaciones aparentemente rivales del tipo ‘∆ se sigue de Γ’ y ‘∆ no se sigue de Γ’. Hay muchas formas de resolver este desacuerdo, que dependen de ciertos presupuestos sobre qué es la lógica y de cuál es el origen de la rivalidad. En cierto modo, el pluralismo lógico puede verse como un proyecto: el estudio de cómo se pueden aceptar dos o más lógicas, o sobre los límites razonables de nuestra tolerancia con distintas lógicas rivales.

1. Niveles de pluralismo

En el debate sobre el pluralismo lógico no sólo encontramos propuestas a favor y en contra de algunas tesis pluralistas, sino también clasificaciones de estas mismas tesis (véase Priest, 2006; Field, 2009; Cook, 2010; Eklund, 2012). Y junto con las clasificaciones, algunos autores han propuesto distintos niveles de pluralismo lógico.

Así pues, distinguimos niveles de versiones de pluralismo lógico. Los niveles de pluralismo lógico corresponden a las diversas concepciones de qué es la lógica: desde la lógica concebida como pura estructura matemática hasta la lógica como formalización del razonamiento correcto. Las versiones de pluralismo son las distintas teorías que hacen compatibles más de una lógica en un determinado nivel.

Priest (2006) distingue tres niveles principales en los que se puede situar la tesis pluralista:

  1. Pluralismo lógico puro (PLP): hay una pluralidad de lógicas puras.
  2. Pluralismo lógico aplicado (PLA): hay una pluralidad de lógicas que pueden aplicarse a distintos fenómenos.
  3. Pluralismo lógico del razonamiento (PLR): hay una pluralidad de lógicas para analizar el razonamiento correcto.

Es importante tener en cuenta que cada versión del pluralismo implica una presuposición sobre un determinado nivel donde se sitúa la lógica. Lo que uno define como lógica determina qué tipo de pluralismo puede respaldar. Por lo tanto, dado un nivel concreto, hay dos posibilidades con respecto al debate pluralista: defender que hay más de una lógica en ese nivel o defender que sólo hay una.

1.1 Pluralismo lógico puro

Si uno revisa la bibliografía especializada en lógica, puede ver que en cierto sentido hay o existen diversas lógicas: clásica, relevante, lineal, trivalente, intuicionista… Una posible tesis pluralista es la afirmación de que estas lógicas son igualmente legítimas en tanto que sistemas de símbolos y reglas sin interpretar. Llamaremos a la tesis pluralista en este nivel pluralismo lógico puro (PLP), tal como hace Priest (2006) (otras denominaciones para este nivel son las de Cook, 2010: Pluralismo lógico Matemático, y Eklund, 2012: pluralismo de mapeo).

La aceptación de PLP parece trivial. Aceptar que hay distintos sistemas lógicos correctos en tanto que simples estructuras no resulta controvertido. Tampoco excluye ni presupone la tesis que la lógica correcta (en un sentido que veremos a continuación) es única. Como afirman Priest (2006), Cook (2010) y Eklund (2020), no parece que esta pluralidad implique una tesis filosófica sustancial, ya que no consideramos que la lógica sea simplemente una estructura matemática: consideramos que la lógica es algo más que eso.

1.2 Pluralismo lógico aplicado

Cuando hablamos de la validez de un argumento podemos hacerlo de forma interna, refiriéndonos a la validez del argumento dadas las reglas de la lógica en la que razonamos, o de una forma externa, interpretando el vocabulario lógico y preguntándonos si dada esa interpretación la conclusión se sigue de las premisas. En este sentido podemos determinar un segundo nivel de pluralismo: la pluralidad de lógicas aplicadas a distintos dominios. En este segundo nivel la lógica no es solo una estructura matemática, sino que es la aplicación de esa estructura a un dominio del discurso, interpretando así el vocabulario lógico. Llamamos a esta tesis Pluralismo Lógico aplicado (PLA), siguiendo a Priest (2006) (Cook, 2010 incluye en este nivel el ‘pluralismo matemático aplicado’ y el ‘pluralismo lógico filosófico’, mientras que Eklund, 2012 se refiere a este nivel como ‘pluralismo de propósitos’).

Podemos distinguir dos versiones de PLA. La primera versión afirma que dado un dominio hay una sola lógica correcta para ese dominio. Es decir, el pluralismo es un fenómeno externo para cada aplicación específica. Según la segunda versión se pueden aplicar distintas lógicas a un único dominio, siendo así el pluralismo un fenómeno interno para ese dominio.

Aunque el pluralismo en este nivel no es tan sencillo y evidente como el PLP, puede defenderse como verdadero sin respaldar aún el pluralismo lógico. Se puede estar de acuerdo con el hecho de que diferentes lenguajes formales pueden ser teorías sobre diferentes fenómenos sin aceptar una pluralidad de lógicas en un sentido más fuerte. Para rechazar que el pluralismo lógico se reduce a la pluralidad de lógicas correctamente aplicadas a distintos campos se debe asumir al menos uno de los dos puntos siguientes: (i) el vocabulario lógico se interpreta técnicamente en cada dominio y no corresponde al significado genuino de las conectivas lógicas, (ii) la conexión entre premisas y conclusiones en los dominios en los que se aplican las distintas lógicas no está determinado por la consecuencia lógica, sino por alguna otra conexión técnica determinada por los fenómenos formalizados. En definitiva, si se acepta PLA pero se defiende una tesis monista sobre la lógica, se considera que la lógica se identifica con una aplicación particular: el razonamiento correcto.

1.3 Pluralismo lógico del razonamiento

Estas últimas consideraciones nos llevan al último nivel en el que podemos situar la tesis pluralista, y que hemos nombrado Pluralismo lógico aplicado al razonamiento (PLR) siguiendo a Priest (2006) (Cook, 2010 lo denomina ‘pluralismo de consecuencia lógica’ o ‘pluralismo lógico substancial’ y Eklund, 2012, ‘buen pluralismo’). En este nivel nos centramos en la formalización de la consecuencia lógica genuina o canónica, que no es otra que el análisis del razonamiento correcto (Priest, 2006, p. 196).

De acuerdo con Haack (1982, p. 223) y Priest (2006, p. 174), podemos establecer una distinción interesante en PLR. Por un lado, se puede argumentar a favor del localismo, afirmando que dominios distintos requieren lógicas distintas para razonar sobre ellos, es decir, la consecuencia lógica cambia según el dominio (es importante observar que esta visión es similar pero no equivalente a PLA externo: la aplicación de una lógica a un dominio es distinta a la consecuencia lógica genuina para razonar sobre un dominio). Por otro lado, el globalismo defiende que hay más de una lógica correcta para razonar, con independencia del dominio o del discurso al que se aplique.

Las tesis que encontramos en este último nivel no parecen tan triviales o fáciles de demostrar como las examinadas en niveles anteriores. Que haya más de una lógica correcta que captura el razonamiento correcto no parece evidente, dada la formalidad, normatividad y universalidad que se le atribuye a la lógica. Veamos las distintas propuestas para defenderlo.

2. Versiones del pluralismo lógico

Una vez hemos visto que el interés del pluralismo lógico es hacer compatibles dos o más afirmaciones aparentemente incompatibles sobre la consecuencia lógica nos centraremos en los distintos intentos para defender esta tesis. Las versiones interesantes del pluralismo deben (a) respaldar más de una lógica en el nivel PLR, o (b) defender que PLR no se corresponde con lo que entendemos por lógica, y respaldar una versión de pluralismo en un nivel inferior.

Consideremos la aparente rivalidad acerca de la validez de un argumento Γ ⇒ ∆. Dicha rivalidad puede tener dos orígenes distintos: la divergencia sobre lo que expresan Γ y ∆ (generalmente defendido por una divergencia sobre las constantes lógicas que aparecen en Γ y ∆, pero no necesariamente) o la divergencia sobre lo que expresa ⇒. En otras palabras, dadas dos lógicas L y L′, tenemos las siguientes dos posibilidades que explican su rivalidad (Haack, 1982 y Hjortland, 2013):

  • Divergencia sobre el lenguaje: Γl ⇒ ∆l y Γl ⇏ ∆l
  • Divergencia sobre la consecuencia: Γ ⇒l ∆ y Γ ⇏l

Tengamos en cuenta que no es posible trazar una línea que separe nítidamente los dos tipos de pluralismo, ya que el comportamiento de la noción de consecuencia tiene efectos en el comportamiento de las conectivas, y viceversa (véase el fenómeno de la internalización de la validez en Hjortland, 2014 y Dicher, 2016). Por lo tanto, aunque solemos hablar de versiones de pluralismo lógico, también pueden entenderse como distintas presentaciones del pluralismo lógico.

2.1 Pluralismo del lenguaje

La defensa del pluralismo lógico basada en la pluralidad de lenguajes legítimos diversos se ha defendido a partir de la adopción de más de una codificación legítima de las constantes lógicas. Veamos las distintas formas que esta idea ha tomado en la bibliografía sobre el pluralismo.

2.1.1 Tolerancia

Carnap es considerado un pionero en el debate pluralista (Beall y Restall, 2006 y Restall, 2002), siendo su Principio de Tolerancia (Carnap, 1937, p.xv) la motivación de su visión pluralista sobre la lógica.

Podemos identificar dos principios que sustentan el pluralismo carnapiano (Kouri Kissel, 2019): en primer lugar, Carnap identifica la lógica con el lenguaje formal, afirmando que un lenguaje queda determinado en tanto se definan las reglas sintácticas que lo rigen (Carnap, 1937, p. 52), lo que supone que un cambio de lógica es un cambio de lenguaje.

En segundo lugar, Carnap defiende el Principio de Tolerancia, que acepta más de un lenguaje formal. Este principio se sustenta en la idea que las preguntas acerca de la corrección de un lenguaje se responden por principios pragmáticos o de conveniencia respecto a la aplicación del mismo. Según este punto de vista, es imposible o un sinsentido determinar cuál es la formalización correcta o el rol inferencial de ‘y’, ‘o’, o ‘si … entonces’ en sentido absoluto. Solo después de que se haya especificado la aplicación sobre la que se está teorizando, se puede determinar la mejor formalización de la conjunción, disyunción o condicional.

Y dado que puede haber distintos contextos que requieran distintas formalizaciones de las constantes lógicas (como hemos visto al presentar el PLA), el pluralismo lógico es correcto.

2.1.2 Modelos

Cook (2002) y Shapiro (2006) defienden una versión del pluralismo que se sustenta en una visión particular sobre la lógica y su conexión con el lenguaje. Shapiro y Cook afirman que el objeto de la lógica es modelar el lenguaje natural, donde los modelos son estructuras que capturan e idealizan ciertas características de un fenómeno, el lenguaje en este caso, mientras que ignoran otras. Dada la riqueza del fenómeno a modelar y la simplificación que del mismo hace de modelo, puede haber modelos rivales pero igualmente correctos de un mismo fenómeno, dependiendo de los aspectos que se realcen o simplifiquen.

Podemos ver esta versión como un pluralismo de dos dimensiones: por un lado, cada contexto que se pretenda modelar aceptará unas reglas distintas en función de su utilidad para el caso concreto; por otro lado, en función de la complejidad que se quiera capturar en cada contexto se aceptará una lógica más o menos idealizada que ignore o refleje su estructura.

2.1.3 Polisemia

Otra versión del pluralismo lógico es la de Kouri Kissel (2018), quien también defiende una pluralidad de lenguajes formales que pueden capturar el vocabulario lógico. Kouri Kissel (2018) defiende una visión polisémica sobre el significado de las constantes lógicas. Según
su punto de vista, las conectivas cambian su significado según el contexto, pero están conectadas entre ellas con una noción pre-teórica de cada conectiva de una manera polisémica.

Consideremos, por ejemplo, el ‘no’ en lenguaje natural y sus distintas formalizaciones en lógicas rivales como la lógica clásica o la intuicionista. Según Kouri Kissel, hay una negación pre-teórica (2018, p. 7) que está relacionada con cada negación formal del mismo modo que están relacionados entre sí los distintos significados de algunas palabras polisémicas. Así pues, la negación solo se puede precisar en relación con un contexto del discurso determinado (por ejemplo, el razonamiento clásico o intuicionista sobre las matemáticas).

2.1.4 Lógica de la ambigüedad

Otra forma de pluralismo basado en la multiplicidad de lenguajes formales legítimos es la de Allo (2013). Este pluralismo está motivado por el hecho de que las conectivas lógicas de la lógica clásica son defectuosas para codificar las conectivas del lenguaje natural, pues estas son conectivas ambiguas, mientras que en la lógica clásica son unívocas.

En general, las lógicas subestructurales codifican dos sentidos de las conectivas lógicas mediante la distinción entre conectivas multiplicativas y aditivas. Allo afirma que las conectivas del lenguaje natural son ambiguas, y que alguna lógica subestructural es una lógica correcta para capturar dicha ambigüedad.

2.1.5 Realitividad lógica

Varzi distingue lo que él denomina relativismo tarskiano del relativismo carnapiano. Primero, y siguiendo a Tarski, Varzi defiende una versión del pluralismo lógico basada en una pluralidad de modelos válidos, que a su vez se basa en la pluralidad de demarcaciones de vocabulario lógico (Varzi, 2002). Esto genera una versión de pluralismo lógico dada la noción tarskiana de consecuencia lógica:


Un argumento es válido si su conclusión es verdadera en todos los modelos en los que las premisas son verdaderas.

Varzi defiende la pluralidad de interpretaciones de la noción de modelo como resultado de una pluralidad de demarcaciones del vocabulario lógico, de modo que el límite entre el vocabulario lógico y el vocabulario extra-lógico es variable. Esto permite generar distintos modelos para la consecuencia lógica, lo que genera más de una lógica correcta.

En segundo lugar, siguiendo a Carnap, Varzi afirma que una vez que se ha establecido una demarcación específica del vocabulario lógico, uno puede ser pluralista en el sentido carnapiano visto anteriormente.

2.1.6 Pluralidad de los portadores de valores de verdad

Otra versión del pluralismo, defendida por Gillian Russell (2008), surge de una pluralidad de interpretaciones de los portadores de valores de verdad codificados en Γ y ∆ en una inferencia Γ ⇒ ∆.

Russell afirma que podemos encontrar ambigüedades en la noción de argumento (Russell, 2008, p. 596): las premisas y la conclusión de un argumento son portadores de valores de verdad, pero esta caracterización abre una pluralidad de posibilidades, ya que los portadores de valores de verdad pueden ser ‘oraciones, proposiciones, símbolos, declaraciones, expresiones, ocurrencias de oraciones, creencias y juicios’ (Russell, 2008, p . 596). El pluralismo lógico surge de la ambigüedad de los argumentos dependiendo de qué portadores elijamos.

Para ver cómo esta ambigüedad nos conduce al pluralismo lógico, distingamos primero las proposiciones, como portadores primarios de valores de verdad, del resto, que son utilizados para expresar una proposición, y cuyas condiciones de verdad dependen de la proposición que expresan.

Sea Bi un portador de valores de verdad que expresa la proposición Pi: Russell muestra que el bicondicional ‘B1, …, Bn Bm si y solo si P1, …Pn Pm’ falla en ambas direcciones. Primero, consideremos el siguiente contraejemplo del condicional ‘si B1, …, Bn Bm entonces P1, …, Pn Pm ’:

⇒ Estoy aquí ahora.

Aunque esta expresión siempre expresa algo verdadero, la proposición que expresa en cada caso no es una verdad lógica. Por lo tanto, hay derivaciones válidas de una lógica que formaliza portadores de valores de verdad no proposicionales que no son válidas en una lógica que formalice contenidos proposicionales.

Segundo, el siguiente contraejemplo muestra la invalidez del condicional ‘si P1, … Pn Pm entonces B1, …, Bn Bm’,

Héspero es Héspero ⇒ Héspero es Fósforo.

Ambas oraciones expresan la misma proposición, pero un portador de valores de verdad no proposicional no establece una conexión lógica entre la premisa y la conclusión. Por lo tanto, hay derivaciones válidas en lógicas que formalizan contenidos proposicionales que no son válidas si la lógica captura portadores de valores de verdad no proposicionales.

En definitiva, hay más de una respuesta a la pregunta sobre la validez de un argumento, y el pluralismo lógico surge como consecuencia de la ambigüedad que la autora atribuye a la noción de argumento.

2.2 Pluralismo de la consecuencia

Otras versiones de pluralismo lógico emergen de la pluralidad de relaciones de consecuencia lógica defendidas como válidas en un mismo lenguaje. Por lo tanto, en contraposición a los pluralismos del lenguaje, que defienden variaciones en Γ y ∆ en la expresión ‘∆ se sigue de Γ’, veremos versiones que defienden que la expresión ‘se sigue de’ puede formalizarse de distintas formas, todas ellas legítimas.

2.2.1 Pluralismo lógico de Beall y Restall

Beall y Restall (2001, 2006) definen su pluralismo como ‘la tesis de que hay más de una relación de consecuencia deductiva genuina’ dado que ‘la noción pre-teórica de consecuencia lógica no está formalmente definida y no tiene límites nítidos’ (2006).

El pluralismo lógico de Beall y Restall se sustenta en la siguiente reformulación de la noción tarskiana de la validez, TTG:


Tesis Tarskiana Generalizada (TTG): un argumento es válidox si y solo si, en todos los casosx en los que las premisas son verdaderas, también lo es la conclusión. (Beall y Restall, 2006, p.29)

Observemos que el subíndice x en válido y en casos muestra que la validez es relativa a la especificación de casos. Fijémonos también que la consecuencia es definida como preservación de la verdad en los distintos casos. Por lo tanto, cada especificación de casos posible determinará una relación de consecuencia lógica distinta, pues la posibilidad de encontrar un contraejemplo para un argumento en concreto variará en función de los casos admitidos.

Beall y Restall aceptan que hay al menos cuatro especificaciones distintas de casos (mundos posibles, modelos tarskianos, situaciones y construcciones), que dan lugar a tres lógicas válidas (lógica clásica, relevante e intuicionista): primero, si consideramos los casos como tarskianos, o bien como mundos posibles, completos y coherentes, la lógica obtenida es clásica; segundo, si los casos son considerados como situaciones posiblemente incompletas e incoherentes, pueden modelar la lógica relevante; y si los casos son construcciones, posiblemente incompletas pero coherentes, la lógica resultante es la lógica intuicionista.

Consideremos como ilustración el silogismo disyuntivo, A B, ¬A B. Si razonamos sobre casos completos y coherentes, siguiendo la lógica clásica, no encontraremos ningún contraejemplo al argumento, y por lo tanto, lo consideramos clásicamente válido. Sin embargo, si aceptamos que pueden haber casos incoherentes, un contraejemplo será aquella situación en que A es falso y B es verdadero y falso. Por lo tanto, el argumento es inválido en lógica relevante.

Finalmente, Beall y Restall restringen las instancias de TTG a aquellas que generan nociones de consecuencia lógica que sean necesarias, normativas y formales, un criterio que cumplen tanto la lógica clásica, como la relevante y la intuicionista.

2.2.2 Modalismo

Bueno y Shalkowski (2009) defienden una tesis pluralista denominada ‘modalismo’, que se basa, al igual que para Beall y Restall, en una definición de consecuencia lógica que puede especificarse de diversos modos. Sin embargo, a diferencia de Beall y Restall, Bueno y Shalkowski (2009) definen la consecuencia lógica evitando una cuantificación sobre los casos posibles. Su pluralismo emerge de la siguiente definición de validez:


Un argumento es válido si, y solo si, la conjunción de sus premisas con la negación de su conclusión es imposible. (Bueno y Shalkowski, 2009, p. 295).

Con esta definición de consecuencia, emerge una pluralidad de lógicas si se puede expandir el ‘dominio de lo posible’. Y así es, según Bueno y Shalkowski, ya que, por ejemplo las contradicciones son posibles en ciertos dominios del discurso (p. 309), pero imposibles en otros, lo que da lugar a distintas nociones de validez.

2.2.3 Ruta dialógica

French (2019) defiende una versión del pluralismo basada en la noción de ‘explicación’, que a su vez surge de una concepción dialógica de la lógica.

Consideremos un argumento Γ ⇒ ∆, y dos sujetos, el ‘argumentador’ y el ‘escéptico’. El papel del argumentador es convencer al escéptico de la validez del argumento, y este segundo busca razones para rechazar la conclusión dadas las premisas. La validez del argumento se reflejará en la existencia de una estrategia del argumentador para convencer a su interlocutor, por muy escéptico que este sea.

El pluralismo surge como consecuencia de observar que hay distintos estándares para aceptar un argumento, y aquello que en ciertos contextos puede ser un argumento bueno o convincente, en otros contextos con distintos estándares se puede rechazar por ser un argumento inválido.

2.2.4 Cáculo de secuentes

La siguiente versión de pluralismo lógico utiliza la lógica de secuentes para defender la pluralidad de lógicas admisibles. Los secuentes del cálculo tienen la siguiente forma:

A, Γ ⊢ ∆, B

Ahora podemos introducir reglas que nos permitan pasar de unos secuentes a otros: estas reglas pueden afectar a una conectiva lógica (reglas operativas), o pueden afectar a la coma (reglas estructurales). Como ilustración, veamos la derivación del silogismo disyuntivo en la lógica clásica:

La derivación comienza con axiomas, A A y B B, y luego aplica reglas que afectan tanto a las conectivas lógicas (⋁L y ¬L) como a las comas (WR, ER, EL). El resultado es el secuente A B, ¬A B, es decir, B se deduce de A B y ¬A suponiendo que las reglas y los axiomas también son válidos.

Estas reglas se pueden modificar: se pueden presentar reglas alternativas para codificar alguna conectiva, o se puede rechazar alguna regla estructural, lo que afecta a las comas y también a ⊢.

Restall (2014) sugiere una versión del pluralismo distinta (pero compatible) con su propia teoría (juntamente con Beall) presentada anteriormente. La idea de Restall es adoptar distintas nociones de consecuencia lógica para un mismo lenguaje. Para defender esta posibilidad considera que el significado de las constantes lógicas queda determinado por las reglas operacionales, mientras que las reglas estructurales afectan la noción de consecuencia. Así, podemos tener dos nociones de consecuencia distintas en un mismo lenguaje.

Consideremos la negación. En la lógica clásica e intuicionista, la negación tiene las siguientes reglas:

Sin embargo, su comportamiento en lógica clásica e intuicionista difiere: en la lógica clásica pueden aparecer más de una fórmula como conclusión, mientras que en la lógica intuicionista sólo puede aparecer una. Por lo tanto, ¬R en lógica intuicionista solo se puede aplicar cuando ∆ es vacío. Esta diferencia en las reglas estructurales para ⊢ invalida la siguiente inferencia en la lógica intuicionista:

Si convenimos con Restall en que las reglas operacionales determinan el significado de ¬, y en que las formalizaciones clásica e intuicionista de ⊢ son admisibles, entonces debemos aceptar la lógica clásica y la lógica intuicionista como dos nociones de validez en un mismo lenguaje.

3. Principales objeciones contra el pluralismo

Desde la publicación de los trabajos de Beall y Restall se han formulado numerosas objeciones al proyecto. Dos de ellas merecen especial atención, por su carácter transversal, que afecta a cualquier versión del pluralismo lógico.

3.1 Colapso

El problema del colapso ha sido presentado y estudiado por Keefe (2014), Priest (2006), Read (2006) y Stei (2020).

La objeción al pluralismo se plantea como sigue: consideremos dos lógicas distintas, L1 y L2, que el pluralista acepta, y que difieren en la validez del argumento Γ ⇒ ∆, que L1 considera válido y L2 inválido. Supongamos también que el pluralista tiene razones para aceptar Γ. Debe el pluralista aceptar ∆?

Tanto si damos una respuesta positiva como negativa a la pregunta sobre si debemos aceptar ∆, el pluralismo parece colapsar en una única lógica, es decir, en monismo: supongamos que en la situación descrita debemos aceptar ∆. En este caso, L2 parece fallar, pues su noción de consecuencia no da todas las claves para determinar qué conclusiones aceptar dadas ciertas premisas. Si por el contrario debemos rechazar ∆, la noción de consecuencia que codifica L1 parece inducirnos a error, al afirmar que dado Γ se deriva ∆.

3.2 Cambio de significado

El argumento del cambio de significado es una objeción formulada no solo en contra del pluralismo lógico sino también en contra de la divergencia respecto a la lógica aceptada.

La objeción tiene su origen en Quine (1998, p.81), donde el autor defiende que la divergencia con respecto a la lógica clásica puede interpretarse como un cambio de significado del vocabulario lógico, lo que transforma dicha divergencia en una simple confusión, y reduce la lógica rival a un equívoco del lenguaje.

El argumento tiene las siguientes tres premisas:

  1. (a) Un cambio de lógica es un cambio de lenguaje formal, entendido como lenguaje interpretado,
  2. (b) El significado de una constante lógica está determinado por su rol inferencial o sus condiciones de verdad,
  3. (c) El lenguaje formal clásico captura el rol inferencial o las condiciones de verdad del vocabulario lógico.

La conclusión de (a) y (b) es que un cambio de lógica es un cambio del significado del vocabulario lógico. Si añadimos (c) al argumento se concluye además que la lógica clásica es la lógica que captura el significado genuino del vocabulario lógico (nótese que (c) podría sustituirse por alguna lógica no clásica, sin que esto varíe la objeción al pluralismo lógico). Por lo tanto, una desviación de la lógica clásica es una desviación del significado genuino de las constantes lógicas, esto es, un equívoco.

Pilar Terrés Villalonga
(Universitat de Barcelona)

Referencias

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Terrés Villalonga, Pilar (2022), “Pluralismo lógico”,  Enciclopedia de la Sociedad Española de Filosofía Analítica: http://www.sefaweb.es/pluralismo-logico